前言

某校的拉普拉斯变换主要的考试方法是解线性微分方程（组），解这样的方程组的过程是

其中第一和第四步都是拉普拉斯变换的内容，在上篇文章已经详细说明。而解方程组和因式分解……懂的都懂。不过根据某数学菜鸡的经验，拉普拉斯变换的部分花的时间少但容易错，因式分解的部分虽然计算艰难但可以验算，复变内容背得熟练的话基本上不会出错。

为避免反复抄几个字母无数次~~展现本人仅有的线性代数水平~~，本文中所有的线性方程组都用矩阵形式表示。

二次部分分式分解

矩阵……真的存在吗

分母因式分解后，最容易解决的是实数线性项（的最高次项），利用“遮盖法”即可快速算出结果。

而二次项有两个办法，一个是解出对应的两个虚根，算出结果后再合并；另一个办法便是解方程组了。

在没有计算器的情况下，复数乘除法非常难算，且似乎不易优化。而方程组的方法则比较整齐，~~适合强迫症~~，且比较容易验算。

例：

\frac{130s}{(s+1)(s+3)(s^2+4)}=\frac A {s+1} +\frac B {s+3} +\frac{Cs+D}{s^2+4}

A和B很容易求出

\begin{align*} A&=\frac{130\times(-1)}{(3-1)(1^2+4)}=-13\\ B&=\frac{130\times(-3)}{(-3+1)(3^2+4)}=15 \end{align*}

而C和D列方程组求解

即

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 1 \\ 4 & 4 & 3 & 4 \\ 12 & 4 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A\\B\\C\\D\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\\130\\0\end{bmatrix}

左边两列有很明显的周期性，若把第一行的-4倍加到第三行，第二行的-4倍加到第四行，省略前两行

\begin{bmatrix}0&0&-1&4\\0&0&-16&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}A\\B\\C\\D\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}130\\0\end{bmatrix}

直接就可以算出C和D。这是 $s^2+a^2$ 类型的简单之处。若是之前没算出A和B，这里也可以带入再计算。

如果有时间验算，除了可以计算这个矩阵方程本身，还可以带入s为特定值直接检验分式分解的正确性。

某人认为解二元带符号的方程组，最好的办法是直接背诵

\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{AD-BC}\begin{bmatrix}D&-B\\-C&A\end{bmatrix}

比如解

\begin{align*} (s+6)X-4Y&=A\\ -2X+(s+4)Y&=0 \end{align*}

先求出

\begin{bmatrix}s+6&-4\\-2&s+4\end{bmatrix}^{-1} =\frac 1 {s^2+10+16} \begin{bmatrix}s+4&4\\2&s+6\end{bmatrix}

再左乘右边的向量就好了。这样不需要反复地抄写和化简符号表达式，一直都是最简的。

\begin{align*} \begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix} &=\frac 1 {s^2+10+16} \begin{bmatrix}s+4&4\\2&s+6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A\\0\end{bmatrix}\\ &=\frac A {s^2+10+16} \begin{bmatrix}s+4\\2\end{bmatrix} \end{align*}