前言

复变上半学期学了解析函数相关一大堆，下半学期的内容只安排了傅立叶变换和拉普拉斯变换，其中傅立叶变换只有两填空和一证明，而拉普拉斯变换有三小计算两大计算，基本上统揽了试卷的所有计算量。

本文梳理了崔老师复变在习题和考试中大部分的技能点，只讲应试，不讲理解。

技能树·正反拉普拉斯变换

拉普拉斯变换列出来的式子有二十个左右，但是由于每个都是很细的知识点，除了基本拉普拉斯变换个别可能不考以外，其他全部都考到，只是题型的区别。

出生技能·基本拉普拉斯变换

每题都涉及，不然考啥呢

以下默认时域变量为tt，s域变量为ss。

多项式的拉普拉斯变换

注意转换到s域之后次数多一。

L(1)=1sL(t)=1s2L(t2)=2s3L(tn)=n!sn+1\gdef\laplace{\mathcal{L}} \begin{align*} \laplace(1)&=\frac{1}{s} \\ \laplace(t)&=\frac{1}{s^2} \\ \laplace(t^2)&=\frac{2}{s^3} \\ \laplace(t^n)&=\frac{n!}{s^{n+1}} \end{align*}

（双曲）三角函数的拉普拉斯变换

注意cos是sin的导数，所以上面多一个s。三角是加号，而双曲是减号，是因为s2+a2=0s^2+a^2=0的两个根都是虚根，而s2−a2=0s^2-a^2=0的两个根都是实根。逆变换的时候有些技巧，见进阶I·延时和频移的反向变换部分。

L[sin⁡(at)]=as2+a2L[sinh⁡(at)]=as2−a2L[cos⁡(at)]=ss2+a2L[cosh⁡(at)]=ss2−a2\gdef\laplace{\mathcal{L}} \begin{align*} \laplace[\sin(at)]&=\frac{a}{s^2+a^2} & \laplace[\sinh(at)]&=\frac{a}{s^2-a^2} \\ \laplace[\cos(at)]&=\frac{s}{s^2+a^2} & \laplace[\cosh(at)]&=\frac{s}{s^2-a^2} \end{align*}

进阶I·延时和频移

大计算必考，小计算好像还真没考

两个实际上是对偶的，指数和平移互相变换。注意延时的时候是把f(t)f(t)的图像整个平移，不是f(t)⋅u(t−a)f(t)\cdot u(t-a)，后面具体说明

L[f(t−a)⋅u(t−a)]=e−asL(f)L[eat⋅f(t)]=L(f)(s−a)\gdef\laplace{\mathcal{L}} \begin{align*} \laplace[f(t-a)\cdot u(t-a)]&=e^{-as}\laplace(f) \\ \laplace[e^{at}\cdot f(t)]&=\laplace(f)(s-a) \end{align*}

其中uu是阶跃函数。

正向变换

不管是计算哪个方向的变换，先计算平移的特性，再计算指数项（eate^{at}和e−ase^{-as}）。

正向时，先考虑延时，做对应的基本变换，再考虑指数项。如计算下列分段函数的拉普拉斯变换：

f(t)={e2tsin⁡3t,0<t<π0,t>πf(t)= \begin{cases} e^{2t}\sin 3t, 0<t<\pi \\ 0, t>\pi \end{cases}

（1）把函数写成阶跃的形式

把每段写成阶跃的形式，把(a,b)(a,b)范围内的一段写成u(t−a)−u(t−b)u(t-a)-u(t-b)。对于0和∞\infty的两个特殊情况，拉普拉斯变换不考虑小于0的情况，u(0)u(0)就是1，而u(∞)u(\infty)就是0。

(0,b)∼1−u(t−b)(a,b)∼u(t−a)−u(t−b)(b,∞)∼u(t−a)−0\begin{align*} (0,b)\qquad&\sim&1-&u(t-b)\\ (a,b)\qquad&\sim&u(t-a)-&u(t-b)\\ (b,\infty)\qquad&\sim&u(t-a)-&0 \end{align*}

这里(0,π)(0,\pi)就是对应1−u(t−π)1-u(t-\pi)，

f(t)=e2tsin⁡3t⋅(1−u(t−π))f(t)=e^{2t}\sin 3t \cdot(1-u(t-\pi))

（2）明显写出延时的变量代换

对应把时延中的各u(t−a)u(t-a)项，把f写成明显地含t−at-a的形式，这里要分别写成含tt和t−πt-\pi的形式

f(t)=e2tsin⁡3t−e2(t−π)⋅e2π⋅sin⁡3(t−π)⋅(−1)⋅u(t−π)=e2tsin⁡3t+e2π⋅e2(t−π)sin⁡3(t−π)⋅u(t−π)\begin{align*} f(t)&=e^{2t}\sin 3t - e^{2(t-\pi)}\cdot e^{2\pi}\cdot\sin 3(t-\pi)\cdot(-1)\cdot u(t-\pi)\\ &=e^{2t}\sin 3t + e^{2\pi}\cdot e^{2(t-\pi)}\sin 3(t-\pi)\cdot u(t-\pi) \end{align*}

（3）按照「基本变换→频移→延时」的顺序进行变换

基本变换，sin⁡3t\sin 3t的拉普拉斯变换是3s2+9\frac{3}{s^2+9}，

另有频移e2te^{2t}，应把ss写成s−2s-2，

L[e2tsin⁡3t]=3(s−2)2+9\mathcal L [e^{2t}\sin 3t]=\frac{3}{(s-2)^2+9}

而延时u(t−π)u(t-\pi)对应的是e−πse^{-\pi s}

L[e2tsin⁡3t⋅u(t−π)]=3e−πs(s−2)2+9\mathcal L [e^{2t}\sin 3t \cdot u(t-\pi)]=\frac{3e^{-\pi s}}{(s-2)^2+9}

（4）加起来

别忘了前面的符号和常数项！

f(t)=3(s−2)2+9⋅(1+eπ(2−s))f(t)=\frac{3}{(s-2)^2+9}\cdot\left(1+e^{\pi(2-s)}\right)

反向变换

反向变换不需要化成分段的形式，保留阶跃函数u(t)即可

例题：

F(s)=se−πss2+2s+5F(s)=\frac{s e^{-\pi s}}{s^2+2s+5}

（1）忽略延时项

s域中延时项是指数函数的形式e−ase^{-as}，这里e−πse^{-\pi s}就是了。这里暂时忽略，后面再补上。

F′(s)=ss2+2s+5F'(s)=\frac{s}{s^2+2s+5}

（2）凑频移项

分母有一次项的时候说明要凑平方，凑完了得到s+as+a，就是频移项。

这里需要凑平方，s2+2s+5=(s+1)2+22s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2。频移项是s+1s+1，把分子凑成s+1s+1和2表示的形式。

F′(s)=(s+1)+12⋅2(s+1)2+22F'(s)=\frac{(s+1)+\frac 1 2 \cdot2}{(s+1)^2+2^2}

（3）忽略频移项，作基本变换

把频移项s+1s+1当作整体，

L−1[s′+12⋅2s′2+22]=cos⁡2t+12sin⁡2t\mathcal L^{-1}\left[\frac{s'+\frac 1 2 \cdot2}{s'^2+2^2}\right]=\cos 2t+\frac 1 2 \sin 2t

（4）补回频移项

注意之前还有个延时，这里先不写tt，记为t′t'。

L−1[F′](t′)=L−1[(s+1)+12⋅2(s+1)2+22](t′)=e−t′L−1[s′+12⋅2s′2+22](t′)=e−t′[cos⁡2t′+12sin⁡2t′]\begin{align*} \mathcal L^{-1}\left[F'\right](t') &=\mathcal L^{-1}\left[\frac{(s+1)+\frac 1 2 \cdot2}{(s+1)^2+2^2}\right](t')\\ &=e^{-t'}\mathcal L^{-1}\left[\frac{s'+\frac 1 2 \cdot2}{s'^2+2^2}\right](t')\\ &=e^{-t'}\left[\cos 2t'+\frac 1 2 \sin 2t'\right] \end{align*}

（5）补回延时项

F′F'和FF相差一个e−πse^{-\pi s}，对应要把t′t'换成t−πt-\pi，并加上阶跃函数u(t−π)u(t-\pi)。

L−1[F]=u(t−π)L−1[F′](t−π)=u(t−π)e−(t−π)[cos⁡2(t−π)+12sin⁡2(t−π)]=u(t−π)eπ−t[cos⁡2t+12sin⁡2t]\begin{align*} \mathcal L^{-1}\left[F\right] &=u(t-\pi)\mathcal L^{-1}\left[F'\right](t-\pi)\\ &=u(t-\pi)e^{-(t-\pi)}\left[\cos 2(t-\pi)+\frac 1 2 \sin 2(t-\pi)\right]\\ &=u(t-\pi)e^{\pi-t}\left[\cos 2t+ \frac 1 2 \sin 2t\right] \end{align*}

进阶II·时域导数和时域卷积

微分方程和Volterra积分方程的左边！

时域导数的公式非常简单

L[f]=FL[f′]=sF−f(0)L[f′]=s2F−sf(0)−f′(0)\begin{align*} \mathcal L \left[f\right]&=F\\ \mathcal L \left[f'\right]&=sF-f(0)\\ \mathcal L \left[f'\right]&=s^2F-sf(0)-f'(0)\\ \end{align*}

只有F前面是正号，其他的都是负号。

时域卷积的公式

L[f∗g]=F⋅G\mathcal L \left[f* g\right]=F\cdot G

注意卷积的定义是从0积到无穷，那么时域积分（0到无穷）实际上就是1∗f1*f，对应拉普拉斯变换

∫0∞f(t)dt=1∗f=1s⋅F\int^\infty_0 f(t)\mathrm d t=1*f=\frac 1 s \cdot F

进阶III·s域导数和s域积分

专门考一道小计算

s域导数和时域类似，但有负号

L−1[F′]=−t⋅f(t)=−tL−1[F]\mathcal L^{-1} \left[F'\right]=-t\cdot f(t)=-t\mathcal L^{-1} \left[F\right]

s域积分的公式不好用（崔老师的答案里也不用），不必记忆。这里没有积分常数的问题，放心用导数就好。

使用时，要么F是某个基本变换的导数，要么F的导数是某个基本变换，反正方程就这一个，看着办吧（