参考资料：

导论

昨晚概率论刚刚上到矩（moment），正好之前opencv的时候概念又看到过非常神秘的Hu矩（Hu moments）即8个由3阶以内中心矩构成的（平移、缩放和）旋转不变量。今天无聊时维基搜了一波，发现出乎意料地有趣。

Flusser的论文中，利用了复数，很轻松地便证明了矩的旋转不变性（复数nb！），并指出了Hu矩中第三组矩是冗余的，且在三阶以内有8个旋转不变量，Hu矩去掉冗余的一个后还少了一个。

矩

概率论中也有矩，设随机变量XX的概率密度函数为f(x)f(x)，则n阶原点矩为

μn=∫−∞∞xnf(x)dx\mu_n = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)\mathrm d x

在图像处理中，矩的定义也是类似的，设图像为f(x,y)f(x,y)

Mpq=∫−∞∞∫−∞∞(x−xˉ)p(y−yˉ)qf(x,y)dxdyM_{pq}=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (x-\bar x)^p(y-\bar y)^q f(x,y) \mathrm d x \mathrm d y

并且一般把p+qp+q叫做矩的阶数。只不过通常用到的是中心矩，这样得到的矩和图像的位置无关

μpq=∫−∞∞∫−∞∞(x−xˉ)p(y−yˉ)qf(x,y)dxdy\mu_{pq}=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (x-\bar x)^p(y-\bar y)^q f(x,y)\mathrm d x \mathrm d y

而且还是归一化的中心矩，这样使得矩和图像的大小也无关

ηpq=μpqμ00(1+i+j2)\eta_{pq}=\frac {\mu_{pq}} {\mu_{00}^{(1+\frac {i+j} 2)}}

接下来的问题是，能不能找到什么方法，使得矩和旋转也无关呢？

复矩

Flusser的方法非常地有趣，他先是定义了复矩（complex moment）

cpq=∫−∞∞∫−∞∞(x+iy)p(x−iy)qf(x,y)dxdyc_{pq}=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (x+\mathrm iy)^p(x-\mathrm iy)^qf(x,y)\mathrm dx \mathrm dy

其中i\mathrm i为虚数单位。复矩显然是普通的矩的多项式，利用二项式定理可以计算，不多解释。

如果令z=x+iyz=x+\mathrm iy，且g(z)=f(x,y)g(z)=f(x,y)，则可以改写为

cpq=∫−∞∞∫−∞∞zpzˉqg(z)dSc_{pq}=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty z^p\bar z^q g(z)\mathrm dS

显然可以看出，p和q交换后结果为原来的共轭，即cpq=cqp‾c_{pq}=\overline {c_{qp}}。如果p=qp=q，则结果为实数，否则结果通常应该是复数，为了获得实数的结果，可以单独取实部和虚部。

旋转

在复数的情况下，旋转的定义非常简单，zz绕原点逆时针旋转θ\theta角的结果是

z′=eiθzz^\prime = \mathrm e^{\mathrm i\theta} z

把g(z)g(z)旋转θ\theta角，则新的复矩

cpq′=∫−∞∞∫−∞∞zpzˉqg(eiθz)dS=ei(q−p)θcpq\begin{align*} c^\prime_{pq} &=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty z^p \bar z^q g(\mathrm e^{\mathrm i\theta}z) \mathrm dS \\ &=\mathrm e^{\mathrm i(q-p)\theta}c_{pq} \end{align*}

显然，对于若干个复矩的乘积，只要p−qp-q一项加起来是0，则得到的乘积就是旋转不变量。

三阶及以下的旋转不变量的一组基（以乘法可以组成别的不变量）包括：

ψ1=c11ψ2=c21c12ψ3+iψ4=c20c122ψ5+iψ6=c30c123\begin{align*} \psi_1&=c_{11}\\ \psi_2&=c_{21}c_{12}\\ \psi_3+\mathrm i\psi_4&=c_{20}c_{12}^2\\ \psi_5+\mathrm i\psi_6&=c_{30}c_{12}^3 \end{align*}

其中后两行的结果通常为复数，前两行的结果保证为实数。c12c_{12}也可以是c01c_{01}，只要q−p=1q-p=1即可。

一阶时c01=0c_{01}=0，没有意义。

完备性

当c12c21≠0c_{12}c_{21}\neq0时，可以证明别的不变量可以由他们组成，如

c20c02=c122c212c20c02c212c122=∣c20c12∣2(c21c12)2=ψ32+ψ42ψ22\begin{align*} c_{20}c_{02} &=\frac{c_{12}^2c_{21}^2c_{20}c_{02}}{c_{21}^2c_{12}^2}\\ &=\frac{|c_{20}c_{12}|^2}{(c_{21}c_{12})^2}\\ &=\frac{\psi_3^2+\psi_4^2}{\psi_2^2} \end{align*}

同样的，

c30c03=c123c213c03c30c123c213=ψ52+ψ62ψ23c_{30}c_{03}= \frac{c_{12}^3c_{21}^3c_{03}c_{30}}{c_{12}^3c_{21}^3}= \frac{\psi_5^2+\psi_6^2}{\psi_2^3}

Hu矩

至此，可以发现，Hu的那组不变量其实并不是互相独立的。

I1=ψ1I2=ψ32+ψ42ψ22I3=ψ52+ψ62ψ23I4=ψ2I5=ψ5I6=ψ3I7=ψ6\begin{align*} I_1&=\psi_1\\ I_2&=\frac{\psi_3^2+\psi_4^2}{\psi_2^2}\\ I_3&=\frac{\psi_5^2+\psi_6^2}{\psi_2^3}\\ I_4&=\psi_2\\ I_5&=\psi_5\\ I_6&=\psi_3\\ I_7&=\psi_6 \end{align*}

但是根据下面关于旋转对称性的讨论，I2I_2和I3I_3在图像具有2重或3重旋转对称性时仍为非0值，并不是完全地没有意义。

Flusser的论文中说c20c122c_{20}c_{12}^2和c302c023c_{30}^2c_{02}^3是独立于{Ik∣k=1…7}\{I_k\mid k=1\dots7\} 的，但是由上可以看出

Re(c20c122)=ψ3Im(c20c122)=ψ4=I2I42−I62c302c023=(c30c123)2(c20c122)‾3(c21c12)6\begin{align*} \mathrm{Re}(c_{20}c_{12}^2)&=\psi_3\\ \mathrm{Im}(c_{20}c_{12}^2)&=\psi_4=\sqrt{I_2I_4^2-I_6^2}\\ c_{30}^2c_{02}^3&=\frac{(c_{30}c_{12}^3)^2\overline{(c_{20}c_{12}^2)}^3}{(c_{21}c_{12})^6}\\ \end{align*}

只不过涉及开方运算，比较复杂罢了。

镜像

那么将图像镜像后，获得的这些旋转不变量是否受影响呢？在复数中讨论这个问题也惊人地简单。

cpq∗=∫−∞∞∫−∞∞zpzˉqgˉ(z)dS=∫−∞∞∫−∞∞zˉpzqg(z)dS‾=cpq‾=cqp\begin{align*} c^*_{pq} &=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty z^p \bar z^q \bar g(z) \mathrm dS \\ &=\overline{\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty \bar z^p z^q g(z) \mathrm dS} \\ &=\overline {c_{pq}}\\ &=c_{qp} \end{align*}

也就是说，这些不变量中，实部在镜像变换中不受影响，而虚部在镜像变换中变为相反数。

旋转对称性

Flusser的另一篇论文里考虑了旋转对称性，这里复数的好处更是凸显。若f(x,y)f(x,y)具有N次旋转对称性，即旋转2π/N2\pi/N角度后与原图形重合，则此时非常多的旋转不变量都是0。

即若

g(z)=e2πi/Ng(z)g(z)=\mathrm e^{2\pi\mathrm i/N}g(z)

则

cpq=exp⁡(2πiN(p−q))⋅cpqc_{pq}=\mathrm \exp(\frac{2\pi\mathrm i}{N}(p-q))\cdot c_{pq}

除非p−qp-q不是NN的倍数，cpqc_{pq}总是为0。当要处理的图像具有旋转对称性时，由于之前选取基的时候总是有一项是p−q=1p-q=1（这是作者构造这组基的技巧所在），则这组基中大部分的不变量在没有误差的情况下都应该是0！

这说明，如果想要利用矩的不变量来进行分析，一定要注意所选取图像的对称性，若选取的基和Flusser前面选的{ψk∣k=1…6)}\{\psi_k\mid k=1\dots6)\}，那么对于任何具有旋转对称性的图像，所得到的结果除了ψ1\psi_1全是0，实在是非常辣鸡。相比之下，Hu的那组还有很多量非0，仍有判断价值。